Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Материалы к лекционному курсу
Лектор – ст. преп. Щербаков И.Н.

Нахождение корней уравнений

Часто встречающейся численной задачей в рамках математического моделирования химических систем и процессов является задача нахождения решения уравнений одной переменной (корней уравнений).

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так

, при этом корнем (решением) называется такое значение , что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня.

Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения , с осью абсцисс. Например, пусть есть уравнение

Преобразуем его в и определим, что

График функции имеет вид

Таким образом можно приблизительно определять область локализации корней уравнения. Так, видно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2]. Решением с семью значащими цифрами являются :
x₁= -0.6367327 x₂=1.409624

Некоторые виды уравнений допускают аналитическое решение. Например, алгебраические уравнения степени n

при .

Однако, в общем виде, аналитическое решение, как правило, отсутствует. В этом случае и применяются численные методы.

Все численные методы решения уравнений представляют собой итерационные алгоритмыпоследовательного приближения к корню уравнения. То есть, выбирается начальное приближение к корню и затем с помощью итерационной формулы генерируется последовательность сходящаяся к корню уравнения

Критерии сходимости при решении уравнений

1. Абсолютное изменение приближения на соседних шагах итерации

2. Относительное изменение приближения на соседних шагах итерации

3. Близость к нулю вычисленного значения левой части уравнения (иногда это значение называют невязкой уравнения, так как для корня невязка равна нулю)

Метод простой итерации

Это простейший из предложенных методов нахождения корней. В качестве итерационной формулы используется выражение независимой переменной из исходного уравнения:

Исходное уравнение - путем арифметических преобразований приводится к виду

который может использоваться в качестве итерационной формулы.

Данное преобразование, как правило, не однозначно и совершенно отдельной задачей является оценка применимости и эффективности того или иного способа преобразования.

Например, уравнение можно преобразовать, например, так

или так или так и т.д.

Задавшись начальным приближением к корню (например, из анализа графика функции или априорных соображений физически реальной модели) можно найти решение.

, затем …..

Ниже приведена таблица вычислений для представленных выражений, начиная с одного и того же начального приближения.

Точность до семи значащих цифр достигается при данном выборе начального приближения для первой итерационной формулы уже на шестом шаге итерационной процедуры, для третьей – на 115-м (в таблице не показано). А вот для второй формулы уже на третьем итерационном шаге вычисления прекращаются, так как под знаком арксинуса оказывается число, большее единицы (нарушается область определения функции).

Сходимость метода простой итерации является локальной и резко зависит от выбора итерационной формулы, что является его недостатком. В случае сходимости скорость схождения не выше первой степени.

Метод Ньютона-Рафсона (метод касательных)

Метод Ньютона основан на линеаризации функции вблизи приближенного значения и нахождения точки пересечения полученной линии с осью абсцисс

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания.

Координата точки пересечения будет

- это и есть итерационная формула метода Ньютона.

Пример

Для уравнения имеем

Сходимость к положительному корню достигается за четыре шага

Сходимость к отрицательному корню – всего за три.

Метод Ньютона является локальнымквадратично сходящимся методом. Причем область сходимости, как правило, достаточно широкая. Это основные достоинства метода.

К недостаткам можно отнести необходимость вычисления производной функции и плохая обусловленность метода вблизи экстремумов функции

Метод дихотомии (половинного деления)

Метод дихотомии (метод деления отрезка пополам) основан на известной теореме Больцано-Коши:

Если непрерывная на отрезке функция на концах его имеет противоположные знаки, т.е. , то на интервале она хотя бы раз обращается в нуль.

Данная теорема не дает вопрос о количестве корней (он может быть как один, так и произвольное нечетное число) в случае выполнения данного условия и не позволяет утверждать, что корней точно нет, если условие не выполняется (их может быть произвольное четное число).

А вот если функция на отрезке является строго монотонной, то тогда можно утверждать

Если непрерывная и строго монотонная на отрезке функция на концах его имеет противоположные знаки, т.е. , то на интервале имеется один и только один корень.

Метод дихотомии основан на последовательном делении отрезка локализации корня пополам.

Для этого выбирается начальное приближение к отрезку , такое, что , затем определяется знак функции в точке - середине отрезка . Если он противоположен знаку функции в точке a, то корень локализован на отрезке , если же нет – то на отрезке .

Алгоритм можно записать так

1. представить решаемое уравнение в виде

2. выбрать такие a, b, что

3. вычислить

4. если , то b = с иниче a = c

5. если критерий сходимости не выполнен, то перейти к п. 3

6. напечатать корень из переменной с

Для нашего примера решение принимает вид:

Точность до седьмой значащей цифры достигается за 20 итераций.

Скорость сходимости этого метода является линейной.

При выполнении начального условия он сходится к решению всегда.

Если задана точность, то можно точно вычислить число необходимых итераций. Действительно, на шаге k длина отрезка локализации корня составит

Тогда

Метод половинного деления удобен при решении физически реальных уравнений, когда заранее известен отрезок локализации решения уравнения и затруднено использование метода Ньютона.

Метод хорд

Близким по алгоритму к методу половинного деления является метод хорд.

Химические задачи, сводимые к решению уравнений

Химическое равновесие в системе с произвольной химической реакцией

Равновесные концентрации веществ при протекании химического процесса

связаны по закону действующих масс константой равновесия реакции

Обозначим начальные концентрации веществ через , через x обозначим глубину протекания химической реакции от начального состояния, тогда равновесные концентрации веществ можно выразить через начальные и величину x

Подставим и получим уравнение относительно величины х

Преобразовав его к виду получим

Данное уравнение можно решать методом Ньютона (найдя аналитически соответствующую производную) либо методом половинного деления

Зная начальные концентрации веществ можно довольно легко найти интервал возможных значений глубины протекания реакции x. Для этого воспользуемся физическим ограничением – равновесные концентрации веществ должны быть неотрицательными величинами.

Первые два неравенства ограничивают значение сверху, последние два – снизу, что окончательно приводит к

Наиболее часто решаются задачи, в которых начальные концентрации продуктов реакции равны 0. В этом случае, как видно, нижней границей для x будет как раз значение 0.

Равновесия в растворах слабых кислот и оснований

Примеры решения некоторых химических задач, которые сводятся к нахождению корней уравнения можно рассмотреть по ссылкам, приведенным ниже:

Моделирование состава раствора слабой трехосновной кислоты.

Моделирование состава буферного раствора слабой двухосновной кислоты.

Моделирование состава буферного раствора слабой n-основной кислоты и соответствующих солей.

В начало страницы